Si vas a programar una aplicación que utilice como sistema gestor de bases de datos MySQL, la extensión MySQLi que acabas de ver es una buena opción. Ofrece acceso a todas las características del motor de base de datos, a la vez que reduce los tiempos de espera en la ejecución de sentencias.
Sin embargo, si en el futuro tienes que cambiar el SGBD por otro distinto, tendrás que volver a programar gran parte del código de la misma. Por eso, antes de comenzar el desarrollo, es muy importante revisar las características específicas del proyecto. En el caso de que exista la posibilidad, presente o futura, de utilizar otro servidor como almacenamiento, deberás adoptar una capa de abstracción para el acceso a los datos. Existen varias alternativas como ODBC, pero sin duda la opción más recomendable en la actualidad es PDO.
El objetivo es que si llegado el momento necesitas cambiar el servidor de base de datos, las modificaciones que debas realizar en tu código sean mínimas. Incluso es posible desarrollar aplicaciones preparadas para utilizar un almacenamiento u otro según se indique en el momento de la ejecución, pero éste no es el objetivo principal de PDO. PDO no abstrae de forma completa el sistema gestor que se utiliza. Por ejemplo, no modifica las sentencias SQL para adaptarlas a las características específicas de cada servidor. Si esto fuera necesario, habría que programar una capa de abstracción completa.
La extensión PDO debe utilizar un driver o controlador específico para el tipo de base de datos que se utilice. Para consultar los controladores disponibles en tu instalación de PHP, puedes utilizar la información que proporciona la función phpinfo().
PDO se basa en las características de orientación a objetos de PHP pero, al contrario que la extensión MySQLi, no ofrece un interface de programación dual. Para acceder a las funcionalidades de la extensión tienes que emplear los objetos que ofrece, con sus métodos y propiedades. No existen funciones alternativas.